На сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD взяты соответственно точки M, N, K, L, делящие эти стороны в одном. Докажите, что отрезок, соединяющий середины сторон AB и AC треугольника ABC, и медиана, проведенная. Докажите, что. Через произвольную точку P стороны AC треугольника ABC параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Доказать, что ме. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная NK, пересекает прямую MN в точке D. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная MN, пересекает прямую NK в точке E. Докажите, что. Средняя линия треугольника. Решим типичную задачу. В треугольнике ABC точки M, N, K середины сторон AB, BC, AC. Найти периметр треугольника ABC, если MN12, MK10, KN8. Конечно, прежде всего следует проверить существование треугольника MNK. Диагональ AC составляет со стороной AB угол 3. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника ABCD равна 3. Через середину диагонали KM прямоугольника KLM N перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая стороны KL и M N в точках A и B соответственно. Известно, что AB BM 6. Отрезок этой прямой, заключенный внутри прямоугольника, равен 1. Найдите углы параллелограмма. Постройте квадрат по его центру и двум точкам, лежащим на противоположных сторонах. Mnk Середины Сторон Ab Bc Ac Треугольника Abc Докажите' title='Mnk Середины Сторон Ab Bc Ac Треугольника Abc Докажите' />Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата. На сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD взяты соответственно точки M, N, K, L, делящие эти стороны в одномитом же отношении при обходе по часовой стрелке. Докажите, что KLM N также квадрат. Через произвольную точку внутри квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает две противоположные стороны квадрата. Mnk Середины Сторон Ab Bc Ac Треугольника Abc Докажите' title='Mnk Середины Сторон Ab Bc Ac Треугольника Abc Докажите' />Задание 25. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK равносторонний. Треугольник равносторонний, точки середины сторон, следовательно. Пусть O центр вписанной окружности и точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Тогда РACB РACD и РBAC РCAD. Поэтому треугольники ABC и ADC равны, так как сторона AC у них общая. Следовательно, AB DA. Аналогично AB BC CD DA. Ясно, что РAOB 180Докажите, что отрезки этих прямых, заключенные внутри квадрата, равны. Прямая имеет с параллелограммом ABCD единственную общую точку B. Вершины A и C удалены от этой прямой нарасстояния a и b соответственно. На какое расстояние удалена от этой прямой вершина D Стороны параллелограмма равны a и b. Найдите диагонали четырехугольника, образованного пересечениями биссектрис а внутренних углов параллелограмма б внешних углов параллелограмма. Mnk Середины Сторон Ab Bc Ac Треугольника Abc Докажите' title='Mnk Середины Сторон Ab Bc Ac Треугольника Abc Докажите' />Докажите, что биссектрисы всех четырех углов прямоугольника не являющегося квадратом при пересечении образуют квадрат. Через точку, расположенную внутри треугольника, проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник на три треугольника и три четырехугольника. Пусть a, b и c параллельные высоты трех этих треугольников. Найдите параллельную им высоту исходного треугольника. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон постоянна. Через каждую вершину параллелограмма проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не проходящей через эту вершину. Докажите, что диагонали четырехугольника, образованного пересечениями четырех проведенных таким образом прямых, перпендикулярны сторонам параллелограмма. Окружность, построенная на стороне BC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Отрезки CM и BN пересекаютсявточке P. Докажите, что AP перпендикулярно BC. С помощью одной линейки опустите перпендикуляр из данной точки на данный диаметр данной окружности точка не лежит ни на окружности, ни на диаметре. Три равных окружности проходят через одну точку и попарно пересекаются в трех других точках A, B и C. Докажите, что треугольник ABC равен треугольнику с вершинами в центрах окружностей. Угол при вершине A ромба ABCD равен 6. На сторонах AB и BC взяты соответственно точки M и N, причем AM BN. Докажите, что треугольник DM N равносторонний. Средняя линия треугольника. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что их центры являются вершинами квадрата. В прямоугольнике ABCD точка M середина стороны BC, точка N середина стороны CD, P точка пересечения отрезков DM и BN. Докажите, что угол M AN равенуглу BP M. Задачи третьего уровня. Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD, P проекция вершины C на прямую AB, M середина стороны AD. Докажите, что DM P 3 AP M. Инструкция К Edisson 350. На сторонах AB и AC треугольника ABC постройте соответственно точки M и N так, что BM AN и M N параллельно BC. На каждой стороне квадрата отметили по точке. Затем все, кроме этих точек, стерли. Восстановите квадрат с помощью циркуля и линейки. Дана линейка с делениями в 1 см. Проведите какой ни будь перпендикуляр к данной прямой. Средняя линия треугольника. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Теорема о средней линии треугольника. Прямая, содержащая среднюю линию треугольника, параллельна третьей стороне треугольника. Средняя линия треугольника равна половине этой стороны. Теорема о медианах треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 1, считая от вершины треугольника. Доказательство. Докажем сначала, что любые две медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 1, считая от вершины. Пусть медианы BM и CN треугольника ABC пересекаются в точке O рис. Отметим середины P и Q отрезков BO и CO. Отрезок P Q средняя линия треугольника OBC, а отрезок M N средняя линия треугольника ABC,Рис. P Q k BC k M N и P Q 1. BC M N. Противоположные стороны P Q и M N четырехугольника M N P Q равны и параллельны, значит, M N P Q паралле Aлограмм. Его диагонали M P и QN делят ся точкой O их пересечения пополам, поэто NMму M O OP BP и N O OQ CQ. Сле довательно, BO OM CO ON 2 1. OPQПоскольку каждые две медианы делят BCся точкой пересечения в отношении 2 1,Рис. A, должна разделит каждую из медиан BM и CN в таком отношении, а значит, должна пройти через точку O. Что и требовалось доказать. Пример 1. Докажите, что отрезок, соединяющий середины сторон AB и AC треугольника ABC, и медиана, проведенная. Aиз вершины A, делят друг друга пополам. Решение. Пусть AM медиана тре угольника ABC, точки K и L середины. KLсторон AB и AC соответственно рис. По теореме о средней линии треугольни ка LM k. AB и KM k. AC, поэтому противоле BM C жащие стороны четырехугольника AKM Lпопарно параллельны. Значит, AKM L параллелограмм. Его диагонали AM и KL делятся точкой пересечения пополам. Пример 2. BB1 и CC1 медианы треугольника ABC. Напродолжении медианы CC1 за точку C отложен отрезок C1. C2,равный. 1A3 CC1. Оказалось, что C2. B1 AB1. Докажите, что медианы CC1. C2и BB1 взаимно перпендикулярны. Решение. Пусть M точка пересече B1. C1ния медиан треугольника ABC рис. MПотеореме о медианах треугольника. M C1 1 CC1 C1. C2. Поэтому диагона 3. BC ли. AB и. C2. M четырехугольника AM BC2. Рис. 3. 2делятсяточкой пересечения пополам. Средняя линия треугольника. Значит, AM BC2 параллелограмм, поэтому AC2 k BM. С другой стороны, медиана C2. B1 треугольника AC2. C равна половине стороны AC, значит, треугольник AC2. C прямоугольный,AC2. C 9. 0. Точки K, L, M и N середины сторон соответственно AB, BC, CD и DE пятиугольника ABCDE, а точки Pи Q середины отрезков соответствен Bно KM и LN. Докажите, что P Q k AELи P Q 1 AE. KC4. PРешение. Пусть F середина диа гонали AD рис. Тогда четырех AQугольник KLM Fпараллелограмм. MFЕго диагональ LF проходит через сере E N Dдину P второй диагонали KM и делится. Рис. 3. 3ею пополам, поэтому P Q средняя ли ния треугольника. LF N. С другой стороны,F N средняялиния треугольника ADE, следовательно,P Q k F N k AE и P Q 2. F N 2. 1 2. 1 AE 4. AE. Задачи первого уровня. Докажите, что три средние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника. Дан треугольник с периметром, равным 2. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах сторон данного. Стороны треугольника равны a и b. Через середину третьей стороны проведены прямые, параллельные двум другим сторонам. Найдите периметр полученного четырехугольника. Постройте треугольник по серединам трех его сторон. Докажите, что середины сторон любого четырех угольника являются вершинами параллелограмма. Дан четырехугольник, сумма диагоналей которого равна 1. Найдите периметр четырехугольника с вершинами в серединах сторон данного. Найдите периметр четырехугольника с вершинамивсерединах сторон прямоугольника с диагональю, равной 8.